宮本 裕一郎

本論文では最短路を高速に検索するためのデータ構造とアルゴリズムの工夫，階層メッシュ疎化法，を提案する．最短路に頻出する枝をあらかじめ抽出することで，応答する経路の最適性を保証しつつ，検索時間の大幅な短縮に成功した．全米道路（約 2400 万点，約 5800 万枝）に適用した実験結果も報告する．階層メッシュ疎化法は，関連する既存手法に比べてメモリ使用量が少ないのが長所である．In this paper, we propose the levelwise mesh sparsification method for the shortest path query problem. Several sparse networks are obtained by sparsifying the original network, and the shortest path problem is solved by finding the shortest path in these networks. The obtained networks are sparse and small, thus the computational time is short. Computational experiments on real world data show the efficiency of our method in terms of computational time and memory efficiency. Compared with existing approaches, the advantage of our method is that it can deal with negative costs and time-dependent costs, and uses only a small amount of memory.

与えられた非負整数mとnに対して，P(m n)def.＝{(xe_1+ye_2)ｌx∈{0 1 ... m?1} y∈{0 1 ... n-1 } }と定義する．ここでe_1def.＝(1 0) e_2def.＝(1/2 √3/2)である，つまりP(m n)は2次元平面上の三角格子点の部分集合を表す．P(m n)を頂点集合とし，頂点間のユークリッド距離がd以下であるときに隣接と定義する無向グラフをT_m n(d)とする．本稿ではT_m n(d)がパーフェクトであるための必要条件と十分条件を議論する．具体的には，∀m∈Z_＋に対してT_m n(d)がパーフェクトである必要十分条件はd≧√n^2-√3n+√3であることを示す．非負整数頂点重みw∈Z^p(m n) _＋が与えられたとき，それぞれの頂点υ∈P(m n)にω(υ)色が割り当てられ，隣接するどの頂点対も同じ色を共有しないようなP(m n)への色の割り当てを(T_m n(d) ω)の多重彩色という．本稿ではP(m n)がパーフェクトであるときに(T_m n(d) ω)を多重彩色する効率的な算法も示す．本稿の主な成果であるP(m n)のパーフェクト性を利用すると一般の(T_m n(d) ω)の多重彩色に対する多項式時間精度保証付き近似解法を構成できる．こうして構成した算法は高々α(d)ω＋ο(d^3)色を用いた多重彩色の解を算出する．ここでωは重み付きクリーク数である．d＝1 √3 2 √7 3のとき，対応する近似率α(d)はそれぞれ(4/3) (5/3) (5/3) (7/4) (7/4)である．d＞1のときα(d)≦(1＋2/√3＋2√3-3/d)である．また本稿では，(T_m n(d) ω)を(4/3)ω色で多重彩色できるか否か判定する問題はNP-完全であることを示す．Given a pair of non-negative integers m and n, P(m,n) denotes a subset of 2-dimensional triangular lattice points defined by P(m,n) def.＝{(xe_1+ye_2)ｌx∈{0,1,...,m竏驤1,y∈{0,1,...,n-1 } }where e_1 def.＝(1,0),e2 def.＝(1/2,√3/2). Let T_m,n(d) be an undirected graph defined on vertex set P(m,n) satisfying that two vertices are adjacent if and only if the Euclidean distance between the pair is less than or equal to d. In this paper, we discuss a necessary and sufficient condition that T_m,n(d) is perfect. More precisely, we show that [∀m∈Z_+, Tm,n(d) is perfect ] if and only if d≧√n^2-√3n+√3. Given a non-negative vertex weight vector w∈Z^p(m,n) _＋, a multicoloring of (Tm,n(d),ω) is an assignment of colors to P(m, n) such that each vertex υ∈P(m,n) admits ω(υ) colors and every adjacent pair of two vertices does not share a common color. We also give an efficient algorithm for muliticoloring (Tm,n(d),ω) when P(m,n) is perfect. In general case, our results on the perfectness of P(m,n) implies a polynomial time approximation algorithm for multicoloring (Tm,n(d),ω). Our algorithm finds a multicoloring which uses at most α(d)ω＋ο(d^3) colors, where ω denotes the weighted clique number. When d＝1,√3,2√7,3, the approximation ratio α(d)＝(4/3),(5/3),(5/3),(7/4),(7/4), respectively. When d＞1, we showed that α(d)≦(1＋2/√3＋2√3-3/d). We also showed the NP-completeness of the problem to determine the existence of a multicoloring of (Tm,n(d),ω) with strictly less than (4/3)ω colors.