Tsunogai Hiroshi

Shanksの3次巡回多項式 f^{Sh}(t;X) = X^3-tX^2-(t+3)X-1∈Ｑ(t)[X] において、tを整数値に特殊化して得られる3次巡回体は最簡3次体 (simplest cubic fields) と呼ばれ、根が単数群を生成するなど興味深い性質を持つ。特に素数導手になる場合には、そのGauss周期とShanks多項式の根との関係が知られている。本講演では、Gauss周期に関するGauss以来の古典的な結果やShanks多項式の幾何学的由来を振り返りながら、この関係について紹介し、さらに今回これを最簡とも素数導手とも限らない一般の3次巡回体に一般化して得た結果について述べる。合成数導手の場合、同じ導手の3次巡回体が複数あるので、助変数tの値に対してそのうちのどの体が対応するかを特定することが問題となる。また、その体が最簡3次体であっても、議論の中で最簡でない3次体を経由するので、tの範囲を有理数まで拡げて考えることが必要になる。60分。

The study of reduction theory for quadratic forms has its origin in "Disquisitiones Arithmeticae" by Gauss. It can be also regarded as that for quadratic irrational numbers. In particular, for real quadratic numbers, it is closely related to continued fraction expantion (CFE) of those numbers. In this talk, we discuss on a variant of CFE of real numbers --- round-version of continued fraction expantion (r-CFE) ---, where we take the integer part of a real number by rounding off. We want to investigate the condition that the r-CFE of a real quadratic number is purely periodic, which seems to be related to the golden ratio. This is an on-going research joint with Kyosuke Wakaiki (Sophia University). (60 min.) (After the talk, I realized that this type of CFE was known as "nearest integer continued fraction (NICF) expansion.)

Shanksの3次巡回多項式において、助変数tを整数値に特殊化した際に得られる3次巡回体は、最簡3次体 (simplest cubic fields) と呼ばれ、根が単数群を生成するなど興味深い性質を持つ。特に素数導手になる場合には、そのGauss周期とShanks多項式の根との関係が知られている。本講演では、最簡とも素数導手とも限らない一般の3次巡回体に対して、Gauss周期とShanks多項式の根との関係を一般化する。合成数導手の場合、同じ導手の3次巡回体が複数あるので、助変数t の値に対してそのうちのどの体が対応するかを特定することが問題となる。また、その体が最簡3次体であっても、議論の中で最簡でない3次体を経由するので、有理数のtまで拡げて考えることが必要になる。Gauss以来の古典的な結果を振り返りながら、今回考察を拡げた部分について紹介する。また、5次巡回体の場合の類似も模索しているので、進展があれば触れたい。50分。

種数1の計算例とともに、その計算に必要となった多項式が複数の重根を持つ条件について紹介し、その不変式論との関連について述べた。60分。

Shanksの3次巡回多項式において、助変数tを整数値に特殊化した際に得られる3次巡回体は、最簡3次体 (simplest cubic fields) と呼ばれ、根が単数群を生成するなど興味深い性質を持つため、数多くの研究がある。特に差積が素数pの場合には、導手pの3次巡回体のGauss周期とShanks多項式の根との関係が知られている。本講演では、最簡とも素数導手とも限らない一般の3次巡回体に対して、Gauss周期とShanks多項式との関係を一般化する。素数導手の場合と異なり、合成数導手dの3次巡回体は複数あるので、Shanks多項式の助変数tを特殊化して得られる導手dの3次巡回体がそのうちのどれであるか、特定することが必要である。また、合成数導手の場合、その体が最簡3次体であっても、議論の中で最簡でない3次体を経由するので、tの値を有理数まで拡げて考えることが必要になる。Gauss以来の古典的な結果を振り返りながら、今回考察を拡げた部分について紹介する。90分。

第27回整数論サマースクール「構成的ガロア逆問題と不変体の有理性問題」での講演。90分。

第27回整数論サマースクール「構成的ガロア逆問題と不変体の有理性問題」での講演。75分。

As a topic of constructive Galois theory, we will introduce a dihedral quintic polynomial constructed and investigated by Brumer, Hashimoto and the speaker, in particular, its re-construction using cross-ratios. We will also give some applications to algebraic number theory, for example, a constuction of dihedral quintic fields with unramified biquadratic extensions or with explicit units of full rank. (60 min.)

ガロア閉包のガロア群が5次二面体群D_5と同型であるような5次体を、二面体型5次体と呼ぶ。本講演では、Brumer、橋本、ならびに講演者によって構成・考察された生成的D_5多項式を利用して、不分岐(2,2)拡大を持つ（すなわち、イデアル類群の2-rankが2以上の）二面体型5次体の無限族を構成する。このガロア閉包を取ることにより、不分岐(2,2,2,2,2)拡大を持つ（イデアル類群の2-rankが5以上の）有理数体のD_5拡大体の無限族も得られる。本研究の一部かつ本質的な部分は、加藤優一氏（上智大学2017年度修士修了）との共同研究であり、彼の修士論文の結果を含む。90分。

dessin d'enfants（以下では単にdessin）とは、位相的Riemann 面（有向閉曲面）Σに埋込まれた二部グラフDの組(Σ,D)の同相類のことで、Belyiの定理により、数体上定義される代数曲線XとP^1への0,1,∞の外不分岐な被覆β:X→P^1の組(X,β)（Belyi対）の同型類と一対一に対応する。原理的にはdessinの位相的情報からBelyi対の方程式や定義体の情報（dessinのGalois軌道）がわかる筈だが、その関係には未解明な部分が多い。講演者は特に種数1のBelyi対の網羅的な計算を試み、6次以下のすべてのdessinに対してBelyi対の方程式および定義体を決定し、種数1の6次以下のdessinではGalois軌道が既知のGalois不変量で分離されていることがわかったので、計算例を交えて紹介する。また、これらの計算の一部の場合では、多項式が2重根を2組持つ条件を扱うことが必要になった。このことにも触れたい。90分。

We calculated the defining equations of all Belyi pairs of genus 1 of degree up to 6, and determined the Galois orbits in these cases. As a result, we show that these Galois orbits can be separated by known Galois invariants of dessins: valency lists, monodromy groups, Nielsen classes, cartographic groups and automorphism groups. We will give some examples of the computation of such Belyi pairs. (50 min.)

We calculated the defining equations of all Belyi pairs of genus 1 of degree up to 6, and determined the Galois orbits in these cases. As a result, we show that these Galois orbits can be separated by known Galois invariants of dessins: valency lists, monodromy groups, Nielsen classes, cartographic groups and automorphism groups.

「ガロア群の構成問題 : 所与の体Kと有限群Gとに対し、ガロア群がGと同型なK上のガロア拡大L/Kは存在するか。あるならLを分解体に持つK上の多項式を具体的に構成せよ」に対し、「Noetherの問題 : K上のn変数有理関数体にn次置換群が変数の置換で作用する時、その固定体はK上有理的か」の考察は古典的かつ有力な手法である。本講演では、その変種である「複比型Noether問題」および関連する問題について、ここ数年の修士論文指導の成果も含めて紹介する。（60分）