角皆 宏

Shanksの3次巡回多項式 f^{Sh}(t;X) = X^3-tX^2-(t+3)X-1∈Ｑ(t)[X] において、tを整数値に特殊化して得られる3次巡回体は最簡3次体 (simplest cubic fields) と呼ばれ、根が単数群を生成するなど興味深い性質を持つ。特に素数導手になる場合には、そのGauss周期とShanks多項式の根との関係が知られている。本講演では、Gauss周期に関するGauss以来の古典的な結果やShanks多項式の幾何学的由来を振り返りながら、この関係について紹介し、さらに今回これを最簡とも素数導手とも限らない一般の3次巡回体に一般化して得た結果について述べる。合成数導手の場合、同じ導手の3次巡回体が複数あるので、助変数tの値に対してそのうちのどの体が対応するかを特定することが問題となる。また、その体が最簡3次体であっても、議論の中で最簡でない3次体を経由するので、tの範囲を有理数まで拡げて考えることが必要になる。60分。

The study of reduction theory for quadratic forms has its origin in "Disquisitiones Arithmeticae" by Gauss. It can be also regarded as that for quadratic irrational numbers. In particular, for real quadratic numbers, it is closely related to continued fraction expantion (CFE) of those numbers. In this talk, we discuss on a variant of CFE of real numbers --- round-version of continued fraction expantion (r-CFE) ---, where we take the integer part of a real number by rounding off. We want to investigate the condition that the r-CFE of a real quadratic number is purely periodic, which seems to be related to the golden ratio. This is an on-going research joint with Kyosuke Wakaiki (Sophia University). (60 min.) (After the talk, I obtained an advice on the terminology that "rounded-version" seems better than "round-version".)

Shanksの3次巡回多項式において、助変数tを整数値に特殊化した際に得られる3次巡回体は、最簡3次体 (simplest cubic fields) と呼ばれ、根が単数群を生成するなど興味深い性質を持つ。特に素数導手になる場合には、そのGauss周期とShanks多項式の根との関係が知られている。本講演では、最簡とも素数導手とも限らない一般の3次巡回体に対して、Gauss周期とShanks多項式の根との関係を一般化する。合成数導手の場合、同じ導手の3次巡回体が複数あるので、助変数t の値に対してそのうちのどの体が対応するかを特定することが問題となる。また、その体が最簡3次体であっても、議論の中で最簡でない3次体を経由するので、有理数のtまで拡げて考えることが必要になる。Gauss以来の古典的な結果を振り返りながら、今回考察を拡げた部分について紹介する。また、5次巡回体の場合の類似も模索しているので、進展があれば触れたい。50分。

種数1の計算例とともに、その計算に必要となった多項式が複数の重根を持つ条件について紹介し、その不変式論との関連について述べた。60分。

Shanksの3次巡回多項式において、助変数tを整数値に特殊化した際に得られる3次巡回体は、最簡3次体 (simplest cubic fields) と呼ばれ、根が単数群を生成するなど興味深い性質を持つため、数多くの研究がある。特に差積が素数pの場合には、導手pの3次巡回体のGauss周期とShanks多項式の根との関係が知られている。本講演では、最簡とも素数導手とも限らない一般の3次巡回体に対して、Gauss周期とShanks多項式との関係を一般化する。素数導手の場合と異なり、合成数導手dの3次巡回体は複数あるので、Shanks多項式の助変数tを特殊化して得られる導手dの3次巡回体がそのうちのどれであるか、特定することが必要である。また、合成数導手の場合、その体が最簡3次体であっても、議論の中で最簡でない3次体を経由するので、tの値を有理数まで拡げて考えることが必要になる。Gauss以来の古典的な結果を振り返りながら、今回考察を拡げた部分について紹介する。90分。